시계열 4장

Frequency Domain in Time Series Analysis

개요

• 주파수 영역은 시계열 데이터를 주기성(주기, 주파수)과 관련된 관점에서 해석한다.
• **주기(Period)**와 **주파수(Frequency)**는 서로 역수 관계이며, 주기적이거나 반주기적인 데이터(사이클릭/펜타주기적)를 식별하고 분석한다.
• 주파수 영역에서 스펙트럼과 스펙트럴 밀도를 정의하고, 이를 추정·평활화·필터링하는 방법을 학습한다.

핵심 개념

상세 노트

1. 주기와 주파수

• 주기는 (p), 주파수는 (f = 1/p).
• 예시: 태양 흑점 데이터 평균 주기 11년 → 주파수 (0.09) (주기 11년/년).
• 주기가 2일 때 가장 높은 관측 가능한 주파수는 (f_{\text{Nyq}} = 0.5).

2. 스펙트럼과 스펙트럴 밀도

• 정의:
  [ S_X(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\gamma_k e^{-i2\pi fk} ] 여기서 (\gamma_k)는 공분산, (\rho_k)는 상관계수.
• 특성:
  • (\rho_k)가 알려지면 (S_X(f)) 계산 가능.
  • (S_X(f))가 알려지면 (\rho_k) 복원 가능.
• 나이퀴스트 주파수: 샘플링이 (f_{\text{Nyq}} = 0.5) 이하에서만 유효.
• 예시: 두 개의 주파수(0.04, 0.125, 0.25)를 가진 합성 사인파의 스펙트럴 밀도는 각각의 피크가 나타남.

3. 샘플 스펙트럴 밀도와 부드럽게 하기

• 실제 데이터는 제한된 길이 (n) 이므로 무한합을 계산할 수 없음.
• 샘플 공분산 (\hat{\rho}_k)를 사용해 샘플 스펙트럴 밀도를 추정.
• Parzen 윈도우를 적용해 스펙트럴 밀도 부드럽게:
  • 윈도우 길이 (M) 보통 (M = 2n) 사용.
  • (M)가 크면 부드러움이 증가하지만 해상도가 감소.
• 로그 스케일 사용 이유: 주파수 피크 간 차이가 크면 비주얼화가 어려움. 로그 변환으로 작은 피크도 눈에 띄게 함.

4. 필터링과 스무딩

• 저역 필터: 고주파 잡음 제거 (예: 이동평균).
• 고역 필터: 저주파 변동 제거 (예: 차분).
• 대역통과/대역멈춤 필터: 특정 주파수 범위만 통과/차단.
• Butterworth 필터:
  • 저역: 컷오프 주파수 이하 통과, 그 이상 차단.
  • 고역: 반대.
  • 매끄러운 전이 특성으로 차분보다 효과적.

5. 실습 및 코드

• R 예시: spec.pgram() 또는 spec.ar()를 사용해 스펙트럴 밀도 추정.
• Parzen 윈도우 구현 시 parzen() 함수 사용.
• Butterworth 필터는 butter() + filter() (R) 혹은 scipy.signal.butter (Python) 활용.

6. 주요 학습 포인트

주파수 영역 분석은 시계열의 주기적 구조를 파악하고, 잡음과 신호를 분리하며, 모델링 전 단계에서 데이터의 특성을 이해하는 데 핵심적이다.

• 주기와 주파수의 관계를 명확히 이해.
• 스펙트럼과 스펙트럴 밀도의 정의 및 상호 변환.
• 샘플 스펙트럴 밀도 추정 시 윈도우와 부드럽게 하는 기법 선택.
• 필터 종류와 목적에 따라 적절한 필터 설계.
• 로그 스케일을 활용해 시각화 효과 극대화.

주파수 영역에서의 분석은 시계열 모델링(AR, MA, ARIMA 등) 전에 데이터의 구조를 파악하고, 모델 선택 및 파라미터 추정에 큰 도움을 준다.