확률의 기초 이론

개요

• 목표: 확률을 수학적으로 정의하고, 확률 함수가 만족해야 할 세 가지 성질을 확인한다.
• 핵심 내용: 확률 함수 정의, 예시를 통한 검증, 경계(마진) 확률과 조건부 확률 개념 도입.

핵심 개념

1. 확률 함수의 정의

2. 확률 함수 여부 판단

• 주어진 함수 (Q)가 확률인지 확인하려면 위 세 성질을 모두 만족하는지 검사한다.
• 예시: 학부생 4개 등급 사건에 대해 (Q)가 0.35, 0.25, … 를 할당하면, 전체 합이 1이 아니므로 (Q)는 확률이 아님.

3. 마진(경계) 확률

• 사건 (A)가 다른 사건 집합 ({B_1,\dots,B_n})으로 분할될 때
  [ P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\cap B_i) ]
• 예시: MBA 졸업자와 펀드 성과의 교차 확률 표를 이용해 (P(A_1)), (P(B_1)) 등을 계산.

4. 조건부 확률

• 사건 (B)가 이미 발생한 상황에서의 (A)의 확률
  [ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} ]
• 해석: (B)가 새 표본공간이 되어, 그 안에서 (A)가 일어날 확률을 계산.

상세 내용

• 확률 정의: 함수 (P: \mathcal{F}\rightarrow[0,1])로 정의되며, 사건에 대한 실수값을 부여한다.
• 성질 검증 절차:
  1. 각 사건에 대해 값이 0~1 범위인지 확인.
  2. 전체 표본공간에 대한 확률이 1인지 확인.
  3. 배타적 사건들의 합집합에 대해 가산적 합이 성립하는지 확인.
• 예시: 학부생 등급 사건 (S_1, S_2, S_3, S_4)에 대해 (Q(S_i))가 주어졌을 때, 전체 합이 1.2 → (Q)는 확률이 아님.
• 마진 확률 계산:
  • (P(A_1)=P(A_1\cap B_1)+P(A_1\cap B_2)=0.4)
  • (P(B_1)=P(A_1\cap B_1)+P(A_2\cap B_1)=0.17) 등
• 조건부 확률:
  • (P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}) 로 표현, 예시로 교통 상황에서 비가 오는 정보를 주어진 조건으로 사용.

참고 사항

• 퀴즈: 출석이 필수이며, 문제는 인쇄된 종이로 제공된다.
• 추가 학습: 복합 사건, 독립 사건, 보완 사건 등에 대한 규칙은 추후 강의에서 다룰 예정.