수리경제학 3/19
Shared on March 23, 2026
지수함수와 로그함수 개론
개요
이 강의는 지수함수와 로그함수의 정의, 성질, 그리고 경제학·통계에서의 활용을 다룹니다.
- 지수함수는 (f(x)=b^{x}) 형태이며,
- 로그함수는 그 역함수 (f^{-1}(x)=\log_b x) 로 정의됩니다.
핵심 개념
| 개념 | 정의 | 주요 성질 |
|---|---|---|
| 지수함수 | (y=b^{x}) (b > 0, b ≠ 1) | 1) (y>0) (치역은 양수) 2) b > 1 → 증가, 0 < b < 1 → 감소 3) y‑절편: (0, 1) |
| 로그함수 | (\log_b x) | 1) 정의역 (x>0) 2) x‑절편: (1, 0) 3) 역함수 관계: (\log_b(b^{x})=x) |
| 자연로그 | (\ln x = \log_e x) | e ≈ 2.71828, 자연상수 |
| 상용로그 | (\log_{10}x) | 기호 (\log)로 표기 |
| 로그 법칙 | 1) (\log_b(xy)=\log_bx+\log_by) 2) (\log_b(x/y)=\log_bx-\log_by) 3) (\log_b(x^k)=k\log_bx) 4) (\log_b(b)=1) 5) (\log_b1=0) | |
| 지수·로그 변환 | (b^{\log_b x}=x,; \log_b(b^{x})=x) | |
| 70‑법칙 | (t \approx \frac{70}{R}) (R = 연간 성장률, % 단위) | 복리 성장 시 2배가 되는 시간 추정 |
상세 내용
1. 지수함수
- 정의: (y=b^{x}), (b)는 밑(base).
- 성질
- (b>1)이면 증가함수, (0<b<1)이면 감소함수.
- (y)-절편은 항상 (0, 1).
- (x)-축과 교차하지 않음.
- 역함수 관계
- (y=b^{x})의 역함수는 (\log_b y).
2. 로그함수
- 정의: (\log_b x = y \iff b^{y}=x).
- 성질
- 정의역 (x>0).
- (x)-절편 (1, 0).
- (y)-축과 교차하지 않음.
- 로그 기호
- (b)가 10이면 (\log)만 쓰고, (b=e)이면 (\ln) 사용.
3. 로그의 기본 성질과 증명
- 곱·나눗셈 법칙: 위 표에 정리.
- 증명
- (b^{\log_b(xy)}=xy) → 양변에 (\log_b) 취하면 (\log_bx+\log_by).
- 나눗셈과 거듭제곱 법칙도 같은 방식으로 유도.
4. 자연로그와 상용로그
- 자연로그는 밑이 (e)인 로그.
- 상용로그는 밑이 10인 로그.
- 표기
- (\ln x) : 자연로그
- (\log x) : 상용로그 (밑 10)
5. 경제·통계에서의 활용
- 성장률 모델
- (N(t)=N_0 e^{rt}) → (\ln N(t)=\ln N_0 + rt) 로 선형화.
- 로그 변환 후 회귀 분석 시 직선 추정 가능.
- 70‑법칙
- 복리 성장 시 두 배가 되는 시간 (t)는 (t\approx70/R).
- 예: 5% 성장률 → 약 14년, 10% 성장률 → 약 7년.
6. 실전 계산 팁
- 두 배가 되는 시점
- (e^{rt}=2 \Rightarrow rt=\ln 2 \approx 0.693).
- (t=\frac{\ln 2}{r}).
- 주어진 기간에서 필요한 성장률
- (e^{rt}=2 \Rightarrow r=\frac{\ln 2}{t}).
결론
지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계에 있으며, 로그의 법칙을 이용하면 곱·나눗셈·거듭제곱이 덧셈·뺄셈·곱셈으로 변환됩니다.
경제학에서는 로그 변환을 통해 비선형 성장 모델을 선형화하고, 70‑법칙으로 복리 성장의 대략적인 기간을 손쉽게 계산할 수 있습니다.