이항 확률분포와 기댓값
Shared on April 23, 2026
통계학 1‑2 강의 노트
개요
본 강의에서는 이항분포와 베르누이 시행, 그리고 확률분포표를 이용한 확률 계산과 통계적 추론의 기초를 다룬다. 실험 설계(시험 분할, 수업 분할)와 관련된 예시가 포함되어 있다.
핵심 개념
| 항목 | 설명 |
|---|---|
| 이항분포 (Binomial Distribution) | 독립적인 (n)번 시행 중 성공 확률이 (\pi)인 사건의 성공 횟수 (X)의 분포. |
| 베르누이 시행 (Bernoulli Trial) | 성공(1) 혹은 실패(0) 중 하나만 발생하는 단일 시행. |
| 확률 계산 공식 | (\displaystyle P(X=x)=\binom{n}{x}\pi^{,x}(1-\pi)^{,n-x}) |
| 기댓값 & 분산 | (E[X]=n\pi) (Var(X)=n\pi(1-\pi)) |
| 표 사용 | 5 %, 10 %, 20 % 등 표준 성공 확률에 대해 사전 계산된 값이 제공된다. |
| 누적 확률 (Cumulative Probability) | (F(k)=P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)) |
| 하이퍼지오메트릭 분포 | 모집단에서 무작위로 뽑은 (n)개의 항목 중 성공 개수를 구할 때 사용. |
| 연습 문제 예시 | - 신용카드 사용 비율 28%로 10번 샘플 시도.<br>- 좌석 벨트 착용률 76.2%로 12대 차량 시뮬레이션.<br>- 9% 대형 TV 보유 가구 시뮬레이션. |
상세 내용
1. 이항분포와 베르누이 시행
- 베르누이 시행: 성공 확률 (p)와 실패 확률 (1-p)로 두 가지 결과만 존재.
- 이항분포는 베르누이 시행을 (n)번 반복한 결과를 집계한 분포이다.
- 기댓값 (E[X]=n p), 분산 (Var(X)=n p(1-p)) 은 간단한 공식을 통해 바로 계산 가능.
2. 확률 계산 예시
- 구매 카드 종류: 28 %가 직불카드 사용. 10개의 샘플에서 직불카드가 사용된 횟수 (X)에 대해
- (P(X=0)=0.0374)
- (P(X=1)=0.1456)
- (P(X\ge6))는 (P(6)+P(7)+\dots+P(10)=0.027+0.006+…)
- 시뮬레이션:
- 좌석 벨트 착용률 76.2 % → 12대 차량에서 7대 이상 벨트 착용 확률 계산.
- 대형 TV 보유률 90 % → 9가구 중 9가구가 보유하거나, 7가구 이상 보유하는 확률 계산.
3. 확률표 활용
- 표준 성공 확률(5 %, 10 %, 20 %, …, 95 %)에 대해 사전 계산된 확률값이 제공되어, (n)이 1~15 사이일 때 바로 조회 가능.
- 특수 성공 확률(예: 28 %)이 표에 없으면 공식 사용 필요.
4. 누적 확률과 보충 계산
- (P(X\ge k))는 (1 - P(X\le k-1)) 로 빠르게 구할 수.
- 누적 확률은 “이전 확률의 합”으로 정의된다.
5. 연습 문제 풀이 구조
- 문제 정의: (n), (\pi), (x) 지정.
- 공식 적용: (\displaystyle P(X=x)) 계산.
- 표 사용 여부 판단: 표에 해당 항목이 있으면 바로 조회, 없으면 공식 사용.
- 누적/보충 계산: 필요 시 보충 확률을 뺀다.
6. 실제 실험 설계 예시
- 시험 분할: 수업을 두 그룹으로 나누어 시험 진행.
- 수업 번호: 학생 등록 번호(59, 222 등)를 활용해 방 배정.
요약
- 이항분포는 독립된 베르누이 시행을 반복한 결과이며, 기댓값과 분산은 (n\pi)와 (n\pi(1-\pi))로 간단히 구한다.
- 확률표를 활용하면 계산이 용이하지만, 표에 없는 경우는 공식으로 직접 계산한다.
- 누적 확률은 보충 계산을 통해 빠르게 구할 수 있다.
- 실습 예시를 통해 이론을 실제 문제 해결에 적용하는 방법을 학습한다.